固有振動数を自分で計算してみよう──簡易式とExcel活用法で配管の揺れやすさを予測する
- 1 日前
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はじめに
「この配管、運転したら揺れるかな？」——設計段階や改造時に、こんな不安を感じたことはありませんか？
配管が揺れやすいかどうかは、「固有振動数」を計算することで、ある程度予測できます。ポンプやコンプレッサーの回転数と固有振動数が近いと共振が起き、想定外の大きな振動が発生するリスクがあります。
本格的な解析ソフトを使わなくても、簡易式とExcelがあれば、おおよその固有振動数は計算可能です。精度は完璧ではありませんが、「危険な領域に入っていないか」をチェックするスクリーニングとしては十分に実用的です。
この記事は、配管設計者・保全技術者・プラントエンジニアの方に向けて書かれています。
💡 この記事で得られること
配管の固有振動数を簡易式で計算する方法
Excelを使った実際の計算手順（数値例つき）
支持位置や配管径を変えたときの影響の見方
目次
1. 固有振動数とは何か──配管の「揺れやすさ」を数値化する
1.1 固有振動数の定義
固有振動数とは、物体が外力なしに自由に振動するときの周波数です。
配管で言えば、「ポンと叩いたときに、配管が自然に揺れる周波数」がこれにあたります。
イメージ: 公園のブランコを想像してください。ブランコには「ちょうど良い揺らし方」があります。そのタイミング（周期）がブランコの固有振動数です。
配管も同じで、「揺れやすい周波数」が存在します。
1.2 なぜ固有振動数を知る必要があるのか
共振の危険:
ポンプやコンプレッサーなどの機械は、回転や往復運動によって、ある周波数の振動を発生させます。
もしこの周波数が、配管の固有振動数と一致すると——
仮に、こんな状況を考えてみてください
ポンプの回転数が900 rpm（毎分900回転）で運転されているとします。これは毎秒15回転なので、15 Hzの振動が配管に伝わります。
一方、配管の固有振動数を計算すると、14.8 Hzだったとしましょう。
この場合、励振周波数（15 Hz）と固有振動数（14.8 Hz）がほぼ一致しているため、共振が発生します。
最初は小さな振動でも、時間とともに振幅がどんどん大きくなり、数ヶ月の運転で配管の溶接部や継手に繰り返し応力が加わり続け、金属疲労が蓄積します。最終的には、亀裂→破断に至るリスクが高まります。
だからこそ:
設計段階で固有振動数を計算
機械の励振周波数と比較
共振リスクを事前評価
このプロセスが重要になります。
1.3 簡易計算の位置づけ
方法 | 精度 | 所要時間 | コスト | 用途 |
簡易式（本記事） | ±20～30% | 数分～数十分 | 無料 | スクリーニング、初期検討 |
有限要素法（FEM） | ±5～10% | 数日～数週間 | 数十万円～ | 詳細設計、最終確認 |
実測 | 高精度 | 数時間 | 数万円～ | 既設配管の確認 |
簡易計算の役割:
「危険な領域にいるかどうか」の判断
FEM解析が必要かどうかの判断
支持位置の初期検討
完璧な精度は求めず、「おおよその目安」として活用します。
2. 簡易計算の基本式──片持ち梁と両端支持梁
2.1 配管を梁としてモデル化する
配管の振動を計算する際、配管を「梁（はり）」として扱います。
支持条件による分類:
A. 両端支持梁（Both Ends Supported Beam）
両端にサポート（支持）がある配管
一般的な配管スパン
B. 片持ち梁（Cantilever Beam）
一端が固定、他端が自由
計装配管、小口径枝管など
C. 片端支持・片端ガイド
より複雑な支持条件
簡易式では扱わない（FEM推奨）
本記事では、最も一般的なA（両端支持梁）と、小口径配管でよく見られるB（片持ち梁）の2つを扱います。
2.2 両端支持梁の固有振動数（基本式）
最も基本的な式:
fn = (λ² / 2π) × √(EI / mL⁴)各記号の意味:
fn: 固有振動数 [Hz]
λ: 境界条件係数（両端単純支持の場合、λ = π）
E: ヤング率（弾性係数） [Pa = N/m²]
I: 断面二次モーメント [m⁴]
m: 単位長さあたりの質量 [kg/m]
L: スパン長さ [m]
実用式に変換:
fn = 15.76 / L² × √(EI / m) [Hz]さらに、配管の諸元を代入して整理すると：
fn = C / L² × √(E / ρ) × √(D² + d²) [Hz]記号の意味:
C: 係数（両端支持の場合、約1.57）
L: スパン長さ [m]
E: ヤング率 [Pa]
ρ: 密度 [kg/m³]
D: 外径 [m]
d: 内径 [m]
2.3 片持ち梁の固有振動数
片持ち梁の場合、境界条件係数が異なります。
fn = 0.56 / L² × √(E / ρ) × √(D² + d²) [Hz]係数の違い:
両端支持: C ≈ 1.57
片持ち: C ≈ 0.56
片持ち梁は、両端支持の約1/3の固有振動数になります（同じ長さの場合）。
2.4 材質別の物性値と計算係数
配管材質によって、ヤング率と密度が異なるため、固有振動数も変わります。
材質 | ヤング率 E [GPa] | 密度 ρ [kg/m³] | √(E/ρ) | 相対値 |
炭素鋼（STPG） | 206 | 7850 | 162 | 1.00 |
ステンレス鋼（SUS304） | 193 | 7930 | 156 | 0.96 |
塩ビ管（HIVP） | 2.9 | 1400 | 45 | 0.28 |
アルミニウム | 70 | 2700 | 161 | 0.99 |
わかること:
塩ビ管の固有振動数は、炭素鋼の約1/4
同じスパン長さでも、塩ビ管は非常に低い固有振動数
ステンレス鋼と炭素鋼はほぼ同等
塩ビ管の注意点:
塩ビ管（HI-VP管、VU管など）は、以下の特徴があります：
固有振動数が低い: 金属配管の1/4程度
温度による変化: 温度が上がるとヤング率が低下し、さらに固有振動数が下がる
支持間隔: JIS規格では1.0～1.5m間隔の支持を推奨
塩ビ管の簡易計算式（両端支持）:
fn ≈ 400 / L² × D [Hz]L: スパン長さ [m]
D: 外径 [mm]
例: 100A塩ビ管（外径114mm）、スパン2.0m
fn ≈ 400 / 2.0² × 114
= 400 / 4 × 114
= 11,400 Hz実際にはこの式は単位が合っていないので、正確には：
fn ≈ 45 / L² × √(D² + d²) × 10⁻³ [Hz]100A塩ビ管の実計算例:
外径: 114 mm
肉厚: 約8 mm（VU100の場合）
内径: 98 mm
スパン: 2.0 m
fn = 0.56 / 2.0² × √(2.9×10⁹ / 1400) × √(0.114² + 0.098²)
= 0.14 × 45 × 0.148
= 0.93 Hzあれ、これは片持ち梁の式でした。両端支持に修正：
fn = 1.57 / 2.0² × 45 × 0.148
= 0.393 × 45 × 0.148
= 2.6 Hz塩ビ管は金属配管の約1/10の固有振動数になることがわかります。
2.5 実用的な簡易式
上記の式は正確ですが、毎回計算するのは面倒です。
もっと簡単な近似式（両端支持、炭素鋼の場合）:
fn ≈ 1500 / L² × D [Hz]L: スパン長さ [m]
D: 外径 [mm]
注意:
この式は炭素鋼（E = 206 GPa）専用
ステンレス鋼はやや固有振動数が低くなる
精度は±30%程度
3. 実際に計算してみよう──Excelでの計算例
3.1 計算条件の設定
例題: 以下の配管の固有振動数を求めてください。
項目 | 値 |
配管材質 | 炭素鋼（STPG） |
呼び径 | 100A（4インチ相当） |
スケジュール | Sch40 |
外径（D） | 114.3 mm = 0.1143 m |
肉厚（t） | 6.02 mm |
内径（d） | D - 2t = 102.26 mm = 0.10226 m |
スパン長さ（L） | 3.0 m |
支持条件 | 両端単純支持 |
流体 | 水（満液） |
物性値:
炭素鋼のヤング率（E）: 206 GPa = 206 × 10⁹ Pa
炭素鋼の密度（ρ_steel）: 7850 kg/m³
水の密度（ρ_water）: 1000 kg/m³
参考：他の材質の物性値
ステンレス鋼（SUS304）: E = 193 GPa, ρ = 7930 kg/m³
塩ビ管（HIVP）: E = 2.9 GPa, ρ = 1400 kg/m³
3.2 Excelでの計算手順
Step 1: 断面積の計算
配管の断面積（鋼材部分）:
A_steel = π/4 × (D² - d²)
= π/4 × (0.1143² - 0.10226²)
= 0.00204 m²流体の断面積:
A_water = π/4 × d²
= π/4 × 0.10226²
= 0.00821 m²Step 2: 単位長さあたりの質量
配管自体の質量:
m_pipe = A_steel × ρ_steel
= 0.00214 × 7850
= 16.1 kg/m流体の質量:
m_fluid = A_water × ρ_water
= 0.00821 × 1000
= 8.21 kg/m合計質量:
m_total = m_pipe + m_fluid
= 16.1 + 8.21
= 24.3 kg/mStep 3: 断面二次モーメント
I = π/64 × (D⁴ - d⁴)
= π/64 × (0.1143⁴ - 0.10226⁴)
= 3.01 × 10⁻⁶ m⁴Step 4: 固有振動数の計算
fn = 15.76 / L² × √(EI / m_total)数値代入:fn = 15.76 / 3.0² × √((206×10⁹ × 3.01×10⁻⁶) / 24.3)
= 15.76 / 9 × √(620167 / 24.3)
= 1.751 × √25521
= 1.751 × 159.8
= 279.7 Hz答え: fn ≈ 280 Hz
3.3 Excelでのセル配置例
Excelシート構成:
セル | 項目 | 式 | 値 |
B2 | 外径 D [mm] | （入力） | 114.3 |
B3 | 肉厚 t [mm] | （入力） | 6.02 |
B4 | 内径 d [mm] | =B2-2*B3 | 102.26 |
B5 | スパン L [m] | （入力） | 3.0 |
B7 | ヤング率 E [GPa] | （入力） | 206 |
B8 | 密度 ρ_steel [kg/m³] | （入力） | 7850 |
B9 | 流体密度 ρ_fluid [kg/m³] | （入力） | 1000 |
B11 | 断面積 A_steel [m²] | =PI()/4*((B2/1000)^2-(B4/1000)^2) | 0.00204 |
B12 | 断面積 A_fluid [m²] | =PI()/4*(B4/1000)^2 | 0.00821 |
B13 | 質量 m_pipe [kg/m] | =B11*B8 | 16.07 |
B14 | 質量 m_fluid [kg/m] | =B12*B9 | 8.21 |
B15 | 合計質量 m [kg/m] | =B13+B14 | 24.28 |
B16 | 断面二次モーメント I [m⁴] | =PI()/64*((B2/1000)^4-(B4/1000)^4) | 3.01E-06 |
B18 | 固有振動数 fn [Hz] | =15.76/B5^2*SQRT((B7*10^9*B16)/B15) | 280 |
使い方:
黄色セル（C2, C3, C5, C7～C9）に条件を入力
C18に固有振動数が自動計算される
4. パラメータスタディ──何を変えると固有振動数はどう変わるか
4.1 スパン長さの影響
スパン長さを変えて固有振動数を計算:
スパン L [m] | 固有振動数 fn [Hz] |
1.0 | 2,518 |
2.0 | 630 |
3.0 | 280 |
4.0 | 157 |
5.0 | 101 |
6.0 | 70 |
グラフにすると:
fn [Hz]
^
2000|●
|
1500|
|
1000|
|
500| ●
|
| ●
| ●
| ● ●
+-----------------> L [m]
0 1 2 3 4 5 6
わかること:
固有振動数は L² に反比例
スパンが2倍になると、固有振動数は1/4
長いスパンほど、低周波数で揺れやすい
実務への応用:
仮に、こんな状況を考えてみてください
ポンプの回転数が3600 rpm（60 Hz）の場合、固有振動数が60 Hz付近だと共振します。
上の表から:
L = 5.0 m → fn = 101 Hz（安全）
L = 6.0 m → fn = 70 Hz（やや近い）
もしスパンが7 mになると、固有振動数は約51 Hzまで下がり、30 Hzに接近します。
対策: スパン中央に支持を追加し、3.5 m × 2スパンにする → 各スパンの固有振動数は約206 Hzに上昇（安全）
4.2 配管径の影響
配管径を変えて固有振動数を計算（スパン3.0m、Sch40、両端支持）:
呼び径 | 外径 D [mm] | 固有振動数 fn [Hz] |
50A | 60.5 | 130 |
80A | 89.1 | 175 |
100A | 114.3 | 205 |
150A | 165.2 | 265 |
200A | 216.3 | 325 |
わかること:
配管径が大きいほど固有振動数は高い
小口径配管は固有振動数が低く、共振しやすい
よくあるのが、こんなケースです
メイン配管（200A）から分岐する計装配管（25A）を、サポートなしで3 m引き出したとします。
25Aの固有振動数を計算すると、約80 Hz程度。
もし近くのポンプが1500 rpm（25 Hz）で運転されていると、3次高調波（75 Hz）が発生し、計装配管と共振するリスクがあります。
数ヶ月の運転で、ネジ接続部やフレア継手部分が緩み、最悪の場合は破断する——こうした事態は珍しくありません。
4.3 流体の影響
流体を変えて固有振動数を計算（100A、3.0m）:
流体 | 密度 [kg/m³] | 質量 m [kg/m] | 固有振動数 fn [Hz] |
空気 | 1.2 | 16.8 | 251 |
水 | 1000 | 25.0 | 205 |
重油 | 900 | 24.2 | 209 |
水銀 | 13600 | 128.6 | 91 |
わかること:
流体が重いほど固有振動数は低下
空配管（気体）は固有振動数が高い
液体満液では固有振動数が20～30%低下
実務上の注意:
スタートアップ時、配管内が空の状態では固有振動数が高く、共振しません。
しかし、液体を充填した瞬間に固有振動数が低下し、運転周波数と一致してしまう——ということがあります。
対策: 液体満液状態で固有振動数を計算する
4.4 配管材質の影響
材質を変えて固有振動数を計算（100A相当、スパン3.0m、両端支持、水満液）:
材質 | ヤング率 [GPa] | 配管密度 [kg/m³] | 固有振動数 fn [Hz] | 備考 |
炭素鋼（STPG） | 206 | 7850 | 205 | 基準 |
ステンレス鋼（SUS304） | 193 | 7930 | 197 | -4% |
塩ビ管（HIVP） | 2.9 | 1400 | 56 | -73% |
わかること:
塩ビ管の固有振動数は炭素鋼の約1/4
ステンレス鋼と炭素鋼はほぼ同等（5%以内の差）
塩ビ管は非常に共振しやすい
塩ビ配管での注意点:
よくあるのが、こんなケースです
工場内の冷却水配管（HIVP 100A）を、3mスパンで敷設したとします。
固有振動数を計算すると、約56 Hz。
近くに冷却水ポンプ（3600 rpm = 60 Hz）があると、固有振動数と非常に近い周波数で励振されます。
塩ビ管は金属配管に比べて減衰が小さいため、共振時の振幅が大きくなりやすく、数ヶ月の運転で：
接着継手部分にマイクロクラックが発生
継手から徐々に漏水
最終的には継手部分から破断
という事態が珍しくありません。
対策:
サポート間隔を短くする（1.0～1.5m推奨）
固有振動数を60 Hzから十分離す（±20%以上）
スパン1.8mにすれば、固有振動数は約86 Hzに上昇
4.5 支持条件の影響
同じ配管（100A、3.0m）で支持条件を変える:
支持条件 | 係数 C | 固有振動数 fn [Hz] |
両端単純支持 | 1.57 | 205 |
両端固定支持 | 3.56 | 465 |
片持ち | 0.56 | 73 |
わかること:
両端固定は固有振動数が約2.3倍
片持ちは固有振動数が約1/3
実務上の注意:
実際の配管支持は「完全固定」でも「完全自由」でもなく、その中間です。
簡易計算では「両端単純支持」として計算するのが安全側（固有振動数を低めに見積もる）です。
5. 共振回避の判断基準──計算結果をどう使うか
5.1 励振周波数の特定
ステップ1: 励振源の周波数を特定
励振源 | 励振周波数の計算 |
ポンプ・電動機 | f = rpm / 60 [Hz] |
往復動圧縮機 | f = (rpm / 60) × シリンダー数 |
タービン | f = rpm / 60 [Hz] |
ベーン通過周波数 | f = (rpm / 60) × ベーン数 |
例: 1800 rpmの電動機駆動ポンプ
基本周波数: 1800 / 60 = 30 Hz
2次高調波: 60 Hz
3次高調波: 90 Hz
5.2 共振回避の判定基準
API 618（往復動圧縮機）の基準:
fn - f_excitation| / f_excitation ≥ 0.2つまり、固有振動数と励振周波数の差が、励振周波数の20%以上離れていること。
具体例:
励振周波数が30 Hzの場合:
許容範囲外: 24 Hz ～ 36 Hz
許容範囲: < 24 Hz または > 36 Hz
配管の固有振動数が25 Hzだった場合 → NG（共振リスクあり）
5.3 判定フローチャート
【Step 1】配管の固有振動数を計算
↓
【Step 2】励振周波数を特定（基本 + 高調波）
↓
【Step 3】分離度を計算
↓
分離度 ≥ 20% → OK（共振リスク低）
↓
分離度 < 20% → NG（共振リスクあり）
↓
【Step 4】対策検討
- サポート追加（スパン短縮）
- サポート位置変更
- 配管ルート変更
- 減衰材追加
↓
【Step 5】再計算5.4 対策の効果を計算で確認
例題: 固有振動数25 Hzの配管（励振30 Hz）を対策する
対策案1: スパン中央にサポート追加
スパン6.0 m → 3.0 m × 2スパン
固有振動数:
fn = 1500 / 3.0² × √114.3
= 178 Hz分離度:
|178 - 30| / 30 = 4.93 = 493%→ OK（十分に離れた）
対策案2: ダンパー追加
固有振動数は変わらないが、共振時の振幅を1/3に抑制
→ 補助的対策として有効
まとめ
配管の固有振動数は、簡易式とExcelを使えば、誰でも計算できます。完璧な精度は期待できませんが、「共振の危険領域にいるかどうか」を判断するスクリーニングとしては十分に実用的です。
📌 この記事のポイント3つ
固有振動数は fn ∝ 1/L² の関係。スパンが長いほど低周波数で揺れやすい
Excelで基本式を組めば、パラメータ変更の影響をすぐに確認できる
励振周波数との分離度20%以上を目安に、共振リスクを評価する
💡 明日から現場でできること
既設配管のスパン長さを測定し、固有振動数を概算する
ポンプ回転数と比較し、共振リスクの有無を確認する
対策が必要な配管をリストアップし、優先順位をつける
記事ID: vibration-7
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